02 May 2011

பழைய கணக்கு

எந்த அறிதலிலும் மிக மிக முக்கியமானது அறிந்த...அறியும் முறை. அது அறிதலை மற்றவர் சரிபார்க்கவும், விரிபடுத்தவும், மேலும் புதியவற்றை கற்கவும் உதவுகின்றது. இதன் முக்கியத்துவம் அறியாததால், ஏன்...எதற்கு என்று தெரியாமல், கோடிக்கணக்கான மூடநம்பிக்கைகளும், மூடவழக்கங்களும் நம் சமூகத்தில் கொட்டிக்கிடக்கின்றன. இதன் முக்கியத்துவம் அறியாததால், நம் பண்டைய அறிதல்கள் மேலும் வளர்ச்சி அடையாமல், இன்று நாம் பழம்பெருமை மட்டுமே பேசி கொண்டுள்ளோம்.

அறிதலின் வழிமுறைகளின் முக்கியத்துவம் இன்றைக்கும் ஒழுங்காக அறியாதப்பட்டதாக தெரிவில்லை. அறிவியல்-முறை என்றால் என்னவென்று தெரியாமலே அறிவியல்-அறிதல்களை படிக்கின்றோம் – அப்படியே நம் கல்விமுறையும். கணித வழிமுறைகள் எதுவும் தெரியாமலே சூத்திரங்களை படிக்கின்றோம். சில எளிய கணித சூத்திரங்கள் எப்படி வந்திருக்கலாம், எப்படி அவற்றை தருவிக்கலாம்/நிரூபிக்கலாம் என்று அறிவியல்/தொழிற்நுட்பம் படித்த பெரும்பாலானோருக்கு கூட தெரிவதில்லை என்பது நம் கல்வியின் அவல நிலையே. கீழே இரண்டு பழம் தமிழ் பாடல்கள் மற்றும் அது கூறும் விளக்கங்கள் உள்ளன. இதில் செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்திற்கான சூத்திரம், இன்றைக்கு நாம் பயன்படுத்தும் சரியான பிதாகிரஸ் சூத்திரத்திலிருந்து முற்றிலும் மாறுபட்டது. முடிந்தால் அது எப்படி வந்ததென்று தருவிக்க முயற்சி செய்யுங்கள்.

வட்டத்தின் சுற்றளவு:

"விட்டமோர் எழு செய்து
திகைவர நான்கு சேர்த்து
சட்டென இரட்டிச் செய்யின்
திகைப்பன சுற்றுத் தானே"
-- காக்கைப் பாடினியார் (சங்க காலத்திற்கு அப்புறம், விருத்தப் பாக்கள் எழுந்த காலத்தில்)

வட்டத்தின் சுற்றளவு = S, அதன் ஆரம் = R (அல்லது விட்டம், D = 2 x R)
S = 2 x 22/7 x R


செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம்:

"ஓடிய நீளந்தன்னை ஓரெட்டு கூறதாக்கி கூறிலே ஒன்று தள்ளி
குன்றத்தில் பாதி சேர்த்தால் வருவது கர்ணம் தானே"
-- (யார் எழுதியது? காலம்?)

முக்கோணத்தின் கர்ணம் = C, நீளம் = L, குறுக்கம் = W
C = 7/8 x L + 1/2 x W

(இது எப்படி வந்ததிருக்கலாம் என்று தருவிக்க முயற்சி செய்யுங்கள். முடியவில்லை என்றால் மேற்கொண்டு தொடரவும்)



எந்த ஒன்றையும் கணிக்க அது எந்த தனிப்பட்ட காரணிகளை சார்ந்துள்ளது என்பதை அறிய வேண்டும். அது நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கலாம். அது ஒரு படியாக இருக்கலாம், இருபடியாக இருக்கலாம், அதற்கு மேலும் இருக்கலாம்.

உதாரணமாக வட்டத்தின் சுற்றளவு (S) அதன் ஆரத்தை (R) சார்ந்தது என்பது கண்கூடானது. ஆரம் அதிகரித்தால் சுற்றளவும் அதிகரிக்கின்றது – ஆக அது நேர்மறை தொடர்பு (S α R; எதிர்மறை என்றால், S α 1/R). இதை பொதுவாக கணித சமன்பாட்டில் இப்படி குறிக்கலாம்:

S = a + bR + cR2 + dR3 + ...

இதில் R : முதல் படி; R2 : இரண்டாவது படி; R3 : மூன்றாவது படியை குறிக்கின்றது. மேலும் a, b, c, d... போன்றவை மதிப்புகள் அறியப்படாத மாறிலிகள். அவற்றின் மதிப்புகளை கண்டறிய பல R-ன் மதிப்புகளுக்கு S-னுடைய மதிப்பு என்னவென்று கண்டறிய வேண்டும். எந்த ஒரு சமன்பாட்டையும் தீர்க, அதாவது தெரியாத மதிப்புகளை கண்டறிய, அதில் எத்தனை தெரியாதவைகள் உள்ளனவோ, அத்தனை சமன்பாடுகள் தேவை.

எளிமைக்காக, முதல் படியோடு இங்கு நிறுத்தி கொள்வோம். பல்வேறு R மற்றும் அதன் S மதிப்புகளை கிராஃப் வரைபடத்தில் வரைந்தும் சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியும். ஒன்றினுடைய தொடர்பு முதல்-படியை மட்டுமே சார்ந்து இருந்தால், கிராஃப் வரைபடத்தில் அது நேர்கோடாக இருக்கும், எந்த வளைவும் இருக்காது.

அப்படியேனில்:
S = a + bR

இதில் a, b என இரண்டு தெரியாதவைகள் உள்ளன. அவற்றை அறிய இரண்டு சமன்பாடுகள் வேண்டும். அதற்கு இரண்டு R, S மதிப்புகளை கண்டறிய வேண்டும் (வரைந்து அளந்து பார்த்து தான். எந்த அளவு துள்ளியமாக அதை கணிக்கின்றோமோ அந்த அளவு துள்ளியமாக தெரியாதவைகளின் மதிப்புகளை அறியமுடியும்). உதாரணமாக, இரண்டு மதிப்புகள்:

R = 0, S = 0
R = 7, S = 44

இவற்றை சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தினால்:

0 = a + bx0 --> (1)
44 = a + bx7 --> (2)

சமன்பாடு(1)லிருந்து [a = 0] என்பதை அறியலாம். அதை சமன்பாடு(2)ல் பயன்படுத்தினால் [b = 44/7 = 2 x 22/7] என்பதை அறியலாம். ஆக:
S = 2 x 22/7 x R

இங்கு 22/7 என்பது ஒரு தோரயமான மதிப்பு. இன்று இதன் மதிப்பு π என்று குறிக்கப்படுகின்றது. இதன் மதிப்பு பல்வேறு உத்திகளை பயன்படுத்தி லட்சம்-கோடி இலக்கத்தில் துல்லியமாக இன்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது.



மேலுள்ள பழம் தமிழ் பாடலின் படி, செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம்:
C = 7/8 x L + 1/2 x W (கர்ணம் = C, நீளம் = L, குறுக்கம் = W)

இந்த சமன்பாட்டை பார்த்த உடன் அறியும் இரு முக்கிய அம்சங்கள். கர்ணம் C இரண்டு காரணிகளை L, W சார்ந்துள்ளது. இரண்டு காரணிகளும் முதல் படி தொடர்பை கொண்டுள்ளது (ஆனால் அதன் சரியான தொடர்பு - பிதாகிரஸ் சூத்திரம் – முதல் படி அல்ல).

அறிவியல், தொழிற்நுட்பம், பொருளாதார, மருத்துவம் போன்ற பல்வேறு துறைகளில், தெரியாத பலவற்றின் தொடர்புகளை தோராயமாக அறிய வளைகோட்டைப் பொருத்துதல் (Curve Fitting) என்ற முறை பயன்படுத்த படுகின்றது. அதிலும் எளிமையாக முதல்-படி-வளைகோட்டைப்-பொருத்துதல் (கிராஃப் வரைபடத்தில் தோராயமான நேர்கோடு வரைதல்) பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. இப்படி திட்டமிட்டு செய்யாமல், பல தெரிந்த மதிப்புகளை கொண்டு சோதித்தும் (Trial and Error method) கிட்டதட்ட அதே தீர்வுகளை காணலாம். இதன் படி பொதுவான சமன்பாடு:

C = aL + bW

இதில் a, b தெரியாத மாறிலிகள். இரண்டு தெரியாதவை உள்ளதால், இதை தீர்க்க குறைந்த பட்சம் இரண்டு சமன்பாடுகள், அதாவது இரண்டு தொகுப்பு மதிப்புகள் தேவை. உதாரணமாக:
L=4, W=3, C=5
L=8, W=4, C=9 (இங்கு C ன் சரியான மதிப்பு 8.9...)

ஆக,
5 = 4a + 3b --> (1)
9 = 8a + 4b --> (2)

சமன்பாடு(1)-ஐ 2-ஆல் பெருக்கினால்:
10 = 8a + 6b --> (3)

சமன்பாடு(3)-ஐ சமன்பாடு(2)-ஆல் கழித்தால்:
1 = 0 + 2b
1 = 2b
b = 1/2

இதை சமன்பாடு(2)-ல் பயன்படுத்தினால்:
9 = 8a + 4x1/2
9 = 8a + 2
9-2 = 8a
7 = 8a
a = 7/8

ஆக, கர்ணத்திற்கான சூத்திரம்:
C = 7/8 x L + 1/2 x W

இது ஒரு தோராயமான சூத்திரம். சரியான சூத்திரம் முதல் படி இல்லை என்றாலும் இது ஓரளவு பொருந்தி வருதற்கு இரண்டு காரணங்கள் உண்டு. கர்ண மதிப்பின் சார்பு மாற்றம், L மற்றும் W-வின் உண்மையான மதிப்பை விட அதன் கோணத்தை அதாவது (L/W) சார்ந்துள்ளது. முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூட்டுதொகை 180° பாகை. செங்கோண முக்கோணத்தில், ஒரு கோணம் எப்பொழுதும் 90° பாகை. ஆக L, W மதிப்புகளை பொருத்து மற்ற கோணம் 0° பாகையிலிருந்து 90° பாகை வரை செல்ல முடியும். முதல்-படி-வளைகோட்டைப்-பொருத்துதலில் 0° முதல் 90° பாகை வரை பொருத்தினால், அதில் பிழையின் அளவு அதிகமாக இருக்கும். இந்த சூத்திரத்தில் 0° முதல் 45° பாகை வரை மட்டுமே பொருத்தப்பட்டுள்ளது (மேலுள்ள படத்தில் இது Ø என குறிக்கப்பட்டுள்ளது). அதனால் தான் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் நீளம் L, குறுக்கம் W என வெளிப்படையாக உள்ளது. நீள குறுக்கத்தை மாற்றி சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தினால் பிழை மிக அதிகமாக இருக்கும் (பிதாகிரஸ் சூத்திரத்தில் இந்த கட்டுபாடு தேவையில்லை).

12 comments:

CorTexT said...

பிதாகிரஸ் சூத்திரத்தின் எளிய நிரூபணம்:
http://www.jimloy.com/geometry/pythag.htm

CorTexT said...

இது முந்தைய பதிவின் தொடர்ச்சி.
பழமை பேசியே:
http://icortext.blogspot.com/2011/04/blog-post.html

saarvaakan said...

எளிமையான,அருமையான விளக்கங்கள், நேர் மாறி சமன் பாடுகளின்(linear equations) மாறிலிகளை(constant) கணக்கிடும் விதத்தை அழகாக விள்க்கினீர் பாராட்டுகள்.
இன்னும் வேறுவித்மாக
C=W.sinθ+Lcosθ
ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கோண்த்திற்கு க்ளார்க் கையேடுஈஅப்போது அப்படித்தான்) மூலம் மதிப்புகளை இட்டால் அம்முக்கோணத்திற்கு சரியான சமன்பாடு ஆகும். வடிவொத்த(similar triangle) முக்கோண்ங்களுக்கு இச்சமன்பாடு அப்படியே பயன் படுத்தப் படலாம்.
வாழ்த்துகள்

CorTexT said...

கருத்திற்கு மிக்க நன்றி saarvaakan!!! இந்த தமிழ் பாடலின் சூத்திரத்திரம் எப்படி வந்திருக்கலாம் என்று சிலர் விவாதித்து கொண்டிருந்தனர். அதற்காக எழுதியது இது.

CorTexT said...

இது போன்ற வழிமுறைகளை கொண்டு தான் கெப்ளர் கோள்களின் இயக்க விதிகளை உருவாக்கினார். அதை கொண்டே நியூட்டன் கிராவிட்டி சமன்பாட்டை உருவாக்கினார்.

ஆ.ஞானசேகரன் said...

தெரியாத ஒன்றை தெரிந்துக்கொண்டேன்
நன்று நன்றி

CorTexT said...

//ஆ.ஞானசேகரன் said...
தெரியாத ஒன்றை தெரிந்துக்கொண்டேன்//

மிக்க மகிழ்ச்சி!

saarvaakan said...

//இந்த தமிழ் பாடலின் சூத்திரத்திரம் எப்படி வந்திருக்கலாம் என்று சிலர் விவாதித்து கொண்டிருந்தனர்.//
நண்பரே
நல்ல முயற்சி.இம்மாதிரி பாடல்கள் நல்லவேளையாக மத புத்தகங்களில் வரவில்லை.வந்தால் அதற்கும் எனக்கு ஒரு மறுப்பு பதிவு எழுதும் சூழ்நிலை ஏற்பட்டு இருக்கும்!!!!.

இம்மாதிரி கணித சூத்திரங்கள் அடங்கிய தமிழ்,பிற இந்திய மொழி பாடலக்ள்(ஆங்கில மொழி பெயர்ப்பு) உள்ளடக்கிய இணயத்தளம் எதுவும் உண்டா?.கொஞ்சம் ஆர்வம் ஏற்பாட்டு விட்டது.நன்றி.

CorTexT said...

நண்பர் saarvaakan,
வளவு-ல் பழந்தமிழர் நீட்டளவை தலைப்பில் பல பதிவுகள் உள்ளன. அவை உங்களுக்கு பிடிக்கும் என நினைக்கின்றேன்.

http://valavu.blogspot.com/2009/07/5.html

saarvaakan said...

நன்றி.

ஆளுங்க (AALUNGA) said...

நல்ல தகவல்..
நன்றி!

CorTexT said...

//ஆளுங்க (AALUNGA) said...
நல்ல தகவல்..
நன்றி!
//

நன்றி!